如何求解二体问题中哈密顿算符的本征方程？《张朝阳的物理课》介绍分离变量例

统的相空间内动量为：

而我们还想到其当中粒子动量的具体的操作符为：

将粒子动量的操作符化简相空间内动量，可将相空间内动量写为：

从上固定式可见，虽然等号右侧的所二阶动量可以显着分单单关于光子1与光子2的分开两项，但动能项则同时与两光子的投影有关，它将光子1与光子2相互作用在独自，所以相空间内动量全面性很难直观地剥离，这为我们解单单相空间内动量的本征常数带来困难。所以我们需四处寻找更进一步操作符来描绘种系统，并且相空间内动量在最初操作符的回应下可以剥离单单不相互相互作用的两部份，从而标准化微分常数的解单单。

由于动能u(x1-x2)只与两光子的相对于一段距离有关，最自然的想律乃是择一择相对于投影x=x1-x2为最初操作符之一，这样动能u(x)只与分开一个操作符x有关。相对于投影x描绘的是种系统各部份的相对于一段距离情况，很难描绘种系统全面性的一段距离，但种系统的惯性投影x_cm则可以。所以最终我们择一择的最初操作符为：两光子的惯性投影x_cm与相对于投影x，亨本上操作符彼此间如下：

根据上述操作符，当我们固定最初操作符x_cm与x当中的一个时，另一个操作符可以取差值由此而来差值，并且我们还可将原本操作符x1与x2用最初操作符回应单单来：

这指明最初操作符可以正因如此原本操作符所能正因如此的所有点，最初操作符基本上可以替代原本操作符作为量子力学的自操作符。于是我们可以令最初操作符x_cm与x为独立国家操作符，对其当中一个操作符所求偏等价的全过程当中另一个操作符始终保持未变。量子力学具体用最初操作符x_cm与x回应为：

从上固定式可以看到，用最初操作符x_cm与x回应的给定ψ(x_cm，x)其实是原本操作符给定ψ(x1，x2)与亨本上操作符彼此间固定式的组合成给定，那么通过组合成给定所二阶的链固定式律则可以获由此而来给定ψ(x_cm，x)关于x_cm的等价为：

为了书写易于，将上述所二阶首字母单单如下表现形固定式（下文基本上相同）：

全然，通过链固定式律则可以所求得ψ(x_cm，x)关于x的等价为：

必要性下定义约化准确性：

则有：

类比光子粒子的下定义，可以下定义与相对于投影x也就是说的相对于粒子动量为：

那么它跟光子1与光子2的粒子动量有如下彼此间：

意识到在相对论性当中，粒子p与速度v的彼此间为p=mv，那么上述公固定式在相对论性来看，得单单结论相对于粒子正是约化准确性μ之比相对于运动所速度，这完全符合早先在相对论性当中解单单二体相对于运动所常数的投影，即二体相对于运动所部份可以等效为投影为相对于投影且准确性为约化准确性μ的重力场的运动所。

（张朝阳导出惯性粒子与相对于粒子跟光子粒子的彼此间）

基本上相同地，我们也可以下定义与惯性投影x_cm也就是说的惯性粒子动量：

那么根据再行前关于惯性投影所二阶的操作符可以获由此而来：

另外，我们想到光子1与光子2的粒子动量对易，；也惯性粒子动量与相对于粒子动量也对易：

用投影来回应上述动量的对易彼此间，则可知关于惯性投影的偏导与关于相对于投影的偏导是可绑定的：

有了这些准备知识，再一我们将把相空间内动量用惯性投影与相对于投影这组最初操作符回应单单来。比方说也是依靠组合成给定的链固定式律则，关于x1的偏导与关于x2的偏导可以分别写为：

与

由于关于惯性投影的偏导与关于相对于投影的偏导是可绑定的，那么对它们分别再要用一次x1与x2的偏导，必要性获由此而来二次偏导的操作符为：

与

将这两个二次偏导的操作符化简相空间内动量当中并化简，可获由此而来由最初操作符回应的相空间内动量为：

其当中M是两光子的总准确性M=m1+m2。这个由最初操作符表达的相空间内动量具更好的政治性，主要特质是惯性投影x_cm与相对于投影x没有相互作用了。再一就可以规避剥离操作符律将这两个操作符剥离地被分开考虑。首再行令量子力学具如下操作符剥离的表现形固定式：

将其化简如下相空间内动量的本征常数当中：

通过化简与移项，可以将此本征常数溶解单单两个独立国家的本征常数，其当中一个是关于两光子惯性运动所部份：

另一个是关于两光子相对于运动所部份：

其当中我们另外敦促两常数的本征差值与E要中用如下彼此间：

毕竟经过溶解的本征常数只有一个操作符，相等于于是就繁复的二体解决办法化为了直观的单体解决办法，进而可以解单单单单本征态与本征差值来。

（张朝阳依靠剥离操作符律解单单相空间内动量的本征常数）

动量对易彼此间与主导本征态

上去为了依靠剥离操作符律解单单本征常数，我们将相空间内动量H溶解单单了惯性运动所部份Hcm：

与相对于运动所部份Hr：

若我们必要性将上述获由此而来的惯性运动所常数代替在剥离操作符全过程当中约去的给定ψ₂(x),可以获由此而来：

这指明具剥离操作符表现形固定式的量子力学ψ(x_cm,x)=ψ₁(x_cm)ψ₂(x)是惯性运动所部份Hcm的本征态。

比方说地，将相对于运动所常数代替给定ψ₁(x_cm)可得：

这指明量子力学ψ(x_cm,x)=ψ₁(x_cm)ψ₂(x)同时也是相对于运动所部份Hr的本征态。所以剥离操作符律当中应用于的最不可或缺的量子力学ψ(x_cm,x)=ψ₁(x_cm)ψ₂(x)，正是惯性运动所部份Hcm与相对于运动所部份Hr的主导本征态。我们再一再行辩论动量的对易性与主导本征态的普遍存在性间的彼此间。

首再行证明：若两个动量A与B对易，且动量A的本征态ψn不简并，那么它们而今主导本征态。设动量A的本征常数如下：

那么由动量A与B的对易性可得：

其当中第一个等号依靠了动量A与B的对易性，第二个等号依靠了动量A的本征常数。上固定式得单单结论波给定Bψn是动量A 的本征态，且其本征差值与ψn也就是说的本征差值一样。由于A的本征态是不简并的，所以波给定Bψn与ψn至多差距一个百分比差值，即：

这正是动量B的本征常数，且动量A的本征态ψn同时也是动量B的本征态。

接着，我们必要性证明，若动量A与B所享有的主导本征态ψn的集合{ψn}构单单阿贝尔空间内的严谨亨，那么动量A与B对易。由于{ψn}构单单严谨亨，取差值由此而来一个波给定ψ都可以按照{ψn}作准备：

由于ψn是动量A与B的主导本征态，那么动量A与B主导作用在以ψn作准备后波给定ψ上可得：

由于波给定ψ是取差值的，所以动量A与B对易。

回过头来看我们剥离操作符律中用的量子力学ψ(x_cm,x)=ψ₁(x_cm)ψ₂(x)，我们期望所有的量子力学都可以用这样的剥离操作符后的量子力学来作准备，而才刚也证明了ψ₁(x_cm)ψ₂(x)是惯性运动所部份Hcm与相对于运动所部份Hr的主导本征态，这指明动量Hcm与动量Hr的主导本征态是严谨的，这就敦促动量Hcm与Hr对易。

仅仅，通过惯性粒子动量与相对于粒子动量的对易彼此间，以及惯性投影与相对于投影的独立国家性，即可测算验证Hcm与Hr确实是对易的，这与上述分析自洽。所以，我们若希望可以用剥离操作符律来解单单相空间内动量的本征常数，那就需将相空间内动量溶解单单相互对易的动量，通过解单单这些对易动量相对于直观的本征常数来密码原相空间内动量的本征常数，这正是我们解单单苯环定态泡利常数时中用的方律。

据了解，《张朝阳的化学课》于每周周五、星期六当清晨12时在新浪网片段录影，中国网民可以在新浪网片段“非议流向”当中跟踪“张朝阳”，电视直播录影及往期差值得注意片段回放；非议“张朝阳的化学课”该网站，拍照课程当中的“知识点”窄片段。此外，还可以在新浪网最初闻APP的“新浪网新能源”该网站上，图书馆每期化学课程的详尽文章。

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